Question

Найти площадь фигуры ограниченной линиями

1.

$y=2x^2-3x+1 \y=0$

2.

$y=frac{8}{x} \y=8\x=4$

3.

$y=x+1\y=-x^2+1\y=0$

Answer 1

Графики сами уж нарисуете:

$displaystyle 2x^2-3x+1=0\x_{1,2}=frac{3pm1}{4}\x_1=1;x_2=frac{1}{2}\\S_1=-intlimits_{frac{1}{2}}^1(2x^2-3x+1)dx=-(frac{2x^3}{3}-frac{3x^2}{2}+x)|^1_{frac{1}{2}}=\=-(frac{2}{3}-frac{3}{2}+1-frac{1}{12}+frac{3}{8}-frac{1}{2})=frac{1}{24}$

$displaystyle S_2=8intlimits^4_11-frac{1}{x}=8(x-ln|x|)|_1^4=8(3-ln4)$

В третьем примере для удобства вычисления можно поменять порядок интегрирования, тем самым избавиться от суммы двух интегралов. Но для понимания решения оставлю оба варианта дабы убедиться в мною сказанном:

$displaystyle S_3=intlimits^0_{-1}(x+1)dx+intlimits^{1}_0(1-x^2)dx=frac{(x+1)^2}{2}|^0_{-1}+(x-frac{x^3}{3})|^1_0=\=frac{1}{2}+1-frac{1}{3}=1frac{1}{6}\\\y=x+1to x=1-y\\y=-x^2+1to x=sqrt{1-y}\S_3=intlimits^1_0(sqrt{1-y}+(1-y))dy=(-frac{2sqrt{(1-y)^3}}{3}-frac{(1-y)^2}{2})|^1_0=\=frac{2}{3}+frac{1}{2}=1frac{1}{6}$