Question

Решить дифференциальное уравнение y штрих=(x-y)^2+1
если можно поточнее

Answer 1

$y'=(x-y)^2+1$

Пусть $x-y=t$, тогда $(x-y)'=t'~~~Rightarow~~~ 1-y'=t'$  откуда  $y'=1-t'$, частное решение y - x=0 откуда у = х, тогда получаем

$1 - t'=t^2+1\ \ t'=-t^2$

Последнее дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

$dfrac{dt}{dx}=-t^2~~~Rightarrow~~~~displaystyle -intdfrac{dt}{t^2}=int dx~~~Rightarrow~~~frac{1}{t}=x+C$

Выполнив обратную замену, получим

$dfrac{1}{x-y}=x+C~~~Rightarrow~~~x-y=dfrac{1}{x+C}~~~Rightarrow~~~ boxed{y=x-dfrac{1}{x+C}}$

Получили общее решение дифференциального уравнения

Ответ: $displaystyle left[begin{array}{ccc}y=x-dfrac{1}{x+C}\ \ y=xend{array}right$

Answer 2

Но решение ведь есть!

Answer 3

Есть)

Answer 4

Скажите, просто интересно, Вы специально делаете так, чтобы Ваше решение не выглядело идеальным? Почему про частное решение Вы пишете не в тот момент, когда происходит неравносильный переход и это решение теряется, а несколькими строчками выше, когда разговор об этом частном решении выглядит странным? А почему не о каком-то другом частном решении?

Answer 5

Сформулируйте вопрос внятней .

Answer 6

На мой взгляд, третью строчку надо переместить ниже. Скажем, после деления на t^2 написать: потерянное решение t=0, то есть y=x

Answer 7

$y'=(x-y)^2+1; y'-1=(y-x)^2; (y-x)'=(y-x)^2;$

замена y-x=u(x); $frac{du}{dx}=u^2;$

одно из решений u=0; y-x=0; y=x;

$frac{du}{u^2}=dx; intfrac{du}{u^2}=int, dx; -frac{1}{u}=x+C; u=-frac{1}{x+C}; y=x-frac{1}{x+C}$

Ответ:$left [ {{y=x} atop {y=x-frac{1}{x+C}}} right.$