Question

найти общее решение:

2y'=y^2/x^2+6*y/x+3

Answer 1

$2y'=dfrac{y^2}{x^2}+6cdotdfrac{y}{x}+3$

Это дифференциальное уравнение является однородным. Воспользуемся заменой $y=ux$, тогда дифференцируя обе части, имеем $y'=u'x+u$. Подставляем в исходное уравнение

$2(u'x+u)=dfrac{u^2x^2}{x^2}+6cdotdfrac{ux}{x}+3\ \ 2u'x+2u=u^2+6u+3\ \ 2u'x=u^2+4u+3$

Получили уравнение с разделяющимися переменными

$2displaystyle intdfrac{du}{u^2+4u+3}=intdfrac{dx}{x}~~~Rightarrow~~~2intdfrac{d(u+2)}{(u+2)^2-1}=intdfrac{dx}{x}\ \ 2cdotdfrac{1}{2cdot1}lnbigg|dfrac{u+2-1}{u+2+1}bigg|=ln|x|+ln C\ \ \ lnbigg|dfrac{u+1}{u+3}bigg|=lnbigg|dfrac{C}{x}bigg|~~~Rightarrow~~~ dfrac{u+1}{u+3}=dfrac{C}{x}$

Сделаем обратную замену: u = y/x, получим

$dfrac{frac{y}{x}+1}{frac{y}{x}+3}=dfrac{C}{x}~~~Rightarrow~~~boxed{dfrac{y+x}{y+3x}=dfrac{C}{x}}$

Получили общий интеграл.