Question

Решить дифференциальное уравнение (xy^2 + x)dx - (y - x^2 y)dy=0, y=1; x=2

Answer 1

$displaystyle x(y^2+1)dx=y(1-x^2)dy$

Это уравнение с разделяющимися переменными

$displaystyle intfrac{xdx}{1-x^2}=intfrac{ydy}{y^2+1}~~~Rightarrow~~~ -frac{1}{2}intfrac{d(1-x^2)}{1-x^2}=frac{1}{2}intfrac{(y^2+1)}{y^2+1}\ \ -ln|1-x^2|+ln C=ln|y^2+1|\ \ lnbigg|frac{C}{1-x^2}bigg|=ln|y^2+1|~~~Rightarrow~~~ boxed{frac{C}{1-x^2}=y^2+1}}$

Получили общий интеграл дифференциального уравнения.

Найдем решение задачи Коши, подставляя начальные условия:

$dfrac{C}{1-2^2}=1^2+1^2~~~Rightarrow~~~~C=-6$

Частный интеграл: $boxed{frac{6}{x^2-1}=y^2+1}}$