Question

Здравствуйте, помогите решить интеграл. Ответ должен получится: 2/3

Answer 1

Ответ:

Как ни странно, ответ здесь действительно 2/3

Объяснение:

Я надеюсь, z здесь никак не связано с комплексными числами. Решаем все это добро на множестве действительных чисел (мне несколько удобнее записывать через x, поэтому буду через х записывать. Думаю, переписать решение, заменив везде x на z, не проблема.)

$intlimits^frac{pi }{2} _0 {sqrt{cosx(1-cos^2x)} } , dx =intlimits^frac{pi }{2} _0 {sqrt{cosx*sin^2x} } , dx = intlimits^frac{pi }{2} _0 |sinx|{sqrt{cosx} } , dx$

Теперь учтем, что пределы интегрирования предполагают, что в этом промежутке синус неотрицателен, а значит, его можно раскрыть со знаком "+".

$intlimits^frac{pi }{2} _0 sinx{sqrt{cosx} } , dx$

Встает вопрос, что делать с этим интегралом. Попробуем интегрировать по частям. Для этого корень будем дифференцировать, а синус интегрировать. $intlimits^frac{pi }{2} _0 sinx{sqrt{cosx} } , dx = -cosxsqrt{cosx} - intlimits^frac{pi }{2} _0 {frac{sinxcosx}{2sqrt{cosx} } } , dx=-cosxsqrt{cosx}-frac{1}{2} intlimits^frac{pi }{2} _0 sinx{sqrt{cosx} } , dx$

Если не очень понятно про интегрирование по частям, почитай про него. Здесь важно, что: $(sqrt{cosx})' = frac{1}{2sqrt{cosx} }*(-sinx)$, и что $intlimits^a_b {sinx} , dx = -cosx$ (без подстановок и прочего) а потом лишь перемножения и вычитание.

Вернемся к интегралу. Занятно получилось, что в выражении спрятано некоторое уравнение относительно как раз нашего интеграла:

$intlimits^frac{pi }{2} _0 sinx{sqrt{cosx} } dx = -cosxsqrt{cosx} -frac{1}{2} intlimits^frac{pi }{2} _0 sinx{sqrt{cosx} } dx$

Это вообще прекрасно, потому что мы уже фактически нашли наш интеграл:

$frac{3}{2} intlimits^frac{pi }{2} _0 sinx{sqrt{cosx} } dx = -cosxsqrt{cosx}; intlimits^frac{pi }{2} _0 sinx{sqrt{cosx} } dx = -frac{2}{3}cosxsqrt{cosx}$

Естественно, подразумевается, что значение справа вычисляется по двойной подстановке с теми пределами, которые у нас есть.

$-frac{2}{3}(cosfrac{pi }{2}sqrt{cosfrac{pi }{2} }-cos0sqrt{cos0})=-frac{2}{3}(0-1)=frac{2}{3}$

Вот и получили наш ответ.

Answer 2

Спасибо за очень хорошее и понятное объяснение! Вы лучший.

Answer 3

В условии сказано, что нужно через замену решить. Сможете помочь?

Answer 4

Прошу прощения, что долго не отвечал. Сессия все-таки. Экзамены)) Интеграл попробую заменой решить, правда, ничего не могу обещать, так как интегральное исчисление было 2 года назад)))

Answer 5

К сожалению, решение не могу теперь изменить. Но с заменой ещё проще оказалось. Корень от косинуса замени на t. Производная его в решение написана. С синусом ничего не делай, когда выразишь дифференциал, он сократится. Останетcя -2t* sqrt(cosx)*dt, корень этот меняешь ещё разок, и останется интеграл от -2t^2dt по пределам от 1 до 0 (это важно, но думаю, ты в состоянии посчитать новые пределы), взяв этот простой интеграл, убедишься, что ответ такой же: 2/3

Answer 6

Да, все проверил, спасибо. Не знал какую замену подобрать.