Question

СРОЧНО! ЗАВТРА ЭКЗАМЕН! РЕШИТЕ ПОЖАЛУЙСТА С РЕШЕНИЕМ!
1) Представить бесконечную периодическую дробь в виде обыкновенной: 1) 0,(35); 2) 3,11(5).

Answer 1

1) $0{,}(35)=dfrac{35}{10^2}+dfrac{35}{10^4}+dfrac{35}{10^6}+dots$

Правая часть равенства представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, где первый её член равен $b_{1}=dfrac{35}{10^2}$, а знаменатель $q=dfrac{1}{10^2}$

Формула суммы бесконечно убывающей геом. прогрессии $S=dfrac{b_1}{1-q}$

$S=dfrac{35}{10^2left(1-dfrac{1}{10^2}}right)}=dfrac{35}{10^2-1}=dfrac{35}{99}$

Значит, $0{,}(35)=dfrac{35}{99}$

2) $3{,}11(5)=3{,}11+0{,}00(5)=dfrac{311}{100}+dfrac{5}{10^3}+dfrac{5}{10^4}+dots$

Аналогично примеру в пункте (1), для периодической дроби в правой части уравнения $b_1=dfrac{5}{10^3}$ и $q=dfrac{1}{10}$

$S=dfrac{5}{10^3left(1-dfrac{1}{10}right)}=dfrac{5}{10^3-10^2}=dfrac{5}{900}=dfrac{1}{180}$

Значит, $3{,}11(5)=dfrac{311}{100}+dfrac{1}{180}=dfrac{311cdot 18+10}{1800}=dfrac{5608}{1800}=dfrac{701}{225}$