Question

Объясните, как решается, пожалуйста:


$tgx=sqrt{frac{3-3cosx}{3cosx-1} }$

Answer 1

Ответ:

$x =dfracpi2+2pi n, ninmathbb Z\x=dfracpi3+2pi m,minmathbb Z$

Объяснение:

Запоминаем, что tg x > 0, и возводим в квадрат:

$mathop{mathrm{tg}}^2 x=dfrac{3-3cos x}{3cos x-1}$

По известной формуле тангенс в квадрате выражается через косинус:

$dfrac1{cos^2x}-1=dfrac{3-3cos x}{3cos x-1}\dfrac1{cos^2x}=dfrac2{3cos x-1}$

При следующем переходе возникают ограничения $cos xne0$, $cos xne1/3$. Если они выполнены, то можно всё домножить на знаменатели "крест накрест":

$2cos^2x=3cos x-1\2cos^2x-3cos x+1=0$

Получилось уравнение, сводящееся к квадратному относительно косинуса. Один корень угадывается - это cos x = 1, второй по теореме Виета cos x = 1/2. Дальше остаётся решить эти уравнения и учесть ограничения (фактически остается отобрать решения, удовлетворяющие неравенству tg x > 0).

$cos x=0 Leftrightarrow x =pm dfracpi2+2pi n, ninmathbb Z\cos x=dfrac12 Leftrightarrow x=pmdfracpi3+2pi m,minmathbb Z$

Не удовлетворяют условию tg x > 0 серии решений, которые соответствуют выбору "-".

Answer 2

Что произошло с правой частью выражения после преобразования tgx в левой части и переноса "-1"

Answer 3

Спасибо, разобралась