Question

Помогите ребята, спасайте!! Много баллов!
Нужно найти область сходимости степенного ряда, помогите пожалуйста

Answer 1

$sum limits _{n=0}^{infty }frac{2^{n}, (x+1)^{n}}{n^2}\\limlimkits _{n to infty}Big |frac{u_{n+1}}{u_{n}} Big |=limlimits _{n to infty}frac{2^{n+1}cdot |x+1|^{n+1}}{(n+1)^2}:frac{2^{n}, |x+1|^{n}}{n^2}=\\=limlimits _{n to infty}frac{2^{n}cdot 2cdot |x+1|^{n}cdot |x+1|}{(n+1)^2}cdot frac{n^2}{2^{n}cdot |x+1|^{n}}= lim_{n to infty}, 2|x+1|=2, |x+1|<1\\|x+1|<frac{1}{2}\\-frac{1}{2}<x+1<frac{1}{2}\\-frac{3}{2}<x<-frac{1}{2}$

$x=-frac{1}{2}, :; sum limits _{n=1}^{infty }frac{2^{n}cdot frac{1}{2^{n}}}{n^2}=sum limits _{n=1}^{infty }frac{1}{n^2}; ; -; ; sxoditsya\\x=-frac{3}{2}, :; sum limits _{n=1}^{infty }frac{(-1)^{n}}{n^2}; ; -; ; sxoditsya; ; absolutno\\Oblast; ; sxodimosti, :; ; xin [-frac{3}{2}, ,, -frac{1}{2}, ]; .$