Question

xy^2y'=x^2+y^3
Дифферинциальное уравнение.

Answer 1

Умножим дифференциальное уравнение на интегрирующий множитель $dfrac{1}{x^4}$. Тогда уравнение примет вид

$underbrace{dfrac{-y^3-x^2}{x^4}}_{M(x;y)}dy+underbrace{dfrac{y^2}{x^3}}_{N(x;y)}dy=0$

Заметим, что $M'_y(x;y)=-dfrac{3y^2}{x^4}=N'_x(x;y)$, т.е. дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Интегрируем функцию F сначала по х: $F(x;y)=displaystyle int M(x;y)dx=intdfrac{-y^3-x^2}{x^4}dx=dfrac{y^3+3x^2}{3x^3}+C(y)$

Теперь продифференцируем по переменной у:

$F'_y(x;y)=dfrac{y^2}{x^3}+C'(y)$. Действительно, $F'_y(x;y)=N(x;y)=dfrac{y^2}{x^3}$.  Отсюда $C'(y)=0~~~Rightarrow C(y)=0$

Общий интеграл:  $dfrac{y^2+3x^2}{3x^3}=C$