Question

y''-4y'+8y=(1+2x)e^x
помогите решить

Answer 1

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения

$y''-4y'+8y=0$

Пусть $y=e^{lambda x}$, получим характеристическое уравнение

$lambda^2-4lambda+8=0~~~Longleftrightarrow~~~~(lambda-2)^2=-4~~Longrightarrow~~~lambda=2pm2i$

Общее решение однородного дифференциального уравнения:

$y^*=e^{2x}(C_1cos 2x+C_2sin2x)$

Рассмотрим функцию $f(x)=(1+2x)e^x$, здесь полином $P_n(x)=1+2x~~Rightarrow~~ n=1$ и $alpha =1$. Сравнивая α с корнями характеристического уравнения и принимая во внимая, что n = 1, частное решение будем искать в виде:

$y^{**}=(Ax+B)e^x$

Вычислим первые две производные функций:

$y'=(Axe^x+Be^x)'=Ae^x+Axe^x+Be^x\ y''=Ae^x+Ae^x+Axe^x+Be^x=2Ae^x+Be^x+Axe^x$

Подставим теперь в исходное уравнение и при этом разделим обе части уравнения на $e^x$, получим

$2A+B+Ax-4(A+Ax+B)+8(Ax+B)=1+2x\ 2A+B+Ax-4A-4Ax-4B+8Ax+8B=1+2x\ 5Ax-2A+5B=2x+1$

Приравниваем коэффициенты при степенях х:

$displaystyle left { {{-2A+5B=1} atop {5A=2}} right. ~~~Longrightarrow~~~left { {{B=dfrac{9}{25}} atop {A=dfrac{2}{5}}} right.$

Частное решение: $y^{**}=left(dfrac{2}{5}x+dfrac{9}{25}right)e^x$

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:

$y=y^*+y^{**}=e^{2x}(C_1cos 2x+C_2sin2x)+left(dfrac{2}{5}x+dfrac{9}{25}right)e^x$

Answer 2

выручили ))