Question

Для функции f(x)=1/x^2-6x+2 найдите первообразную F(x), график которой проходит через точку М(1;0).

Answer 1

$f(x)=dfrac{1}{x^2-6x+2}=dfrac{1}{x^2-6x+9-7}=dfrac{1}{(x-3)^2-(sqrt{7})^2}$

Найдем общий вид первообразной:

$F(x)=displaystyle intdfrac{dx}{(x-3)^2-(sqrt{7})^2}=dfrac{1}{2cdotsqrt{7}}lnbigg|dfrac{x-3-sqrt{7}}{x-3+sqrt{7}}bigg|+C$

Подставим координаты точки М и найдем константу С

$0=dfrac{1}{2sqrt{7}}lnbigg|dfrac{1-3-sqrt{7}}{1-3+sqrt{7}}bigg|+C~~~Rightarrow~~~ C=-dfrac{1}{2sqrt{7}}lnbigg(dfrac{2+sqrt{7}}{sqrt{7}-2}bigg)$

Искомая первообразная:

$F(x)=dfrac{1}{2cdotsqrt{7}}lnbigg|dfrac{x-3-sqrt{7}}{x-3+sqrt{7}}bigg|-dfrac{1}{2sqrt{7}}lnbigg(dfrac{2+sqrt{7}}{sqrt{7}-2}bigg)$