Question

Найти наибольшее значение биссектрисы CL остроугольного треугольника ABC, если известно что AB=c, а радиус описанной около треугольника окружности равен R.​

Answer 1

Рассмотрим ΔАВС и ΔАВС1. Продолжим биссектрисы CL и С₁L₁ до пересечения с описанной окружностью в точке Р. ∠АСP = ∠ВСР ⇒ ∪АР = ∪ВР . Хорды, стягивающие равные дуги, равны ⇒ АР = ВР

Пусть СР будет больше С₁Р, тогда проекция отрезка РL на прямую АВ меньше проекции отрезка РL₁

С₁L₁ = C₁P - PL₁ < C₁P - PL < CP - PL = CL

Конечно, можно сравнивать и 3, и 4 таких отрезков, но не будем терять время. Поэтому, чем ближе искомая биссектриса к диаметру , тем она длиннее. Таким образом, наибольшее значение биссектрисы будет у равнобедренного треугольника ABC₂ , С₂L₂  - искомая

Перпендикуляр, опущенный на АВ, проходит через его середину и центр описанной окружности.

В ΔАОL₂:  OL₂= √(AO² - AL₂²) = √(R² - (c/2)²) = 0,5•√(4R² - c²)

C₂L₂ = C₂O + OL₂ = R + 0,5•√(4R² - c²)

ОТВЕТ: R + 0,5•√(4R² - c²)

Answer 2

C₁P - PL₁ < C₁P - PL , вот это место не понял , ведь из этого неравенства следует , что PL1 > PL , то есть катет больше гипотенузы

Answer 3

"Позже картинку поменяю"

Answer 4

Если интересно, то вместо точек М, Т , С1 , L1 должны быть точки соответственно C1 , L1 , C1 , L2

Answer 5

C1 , L1 , C2 , L2 ***

Answer 6

Готово!

Answer 7

Из вершины В продлим сторону параллельную CL до пересечения продления стороны АС так что EC = BC; ∠ EBD = ∠BCL = α  как накрест лежащие при EB || CL и секущей BC.

∠BEC = ∠EBC ⇒ ΔEBC — равнобедренный. Из этого треугольника

EB = 2BC * cosα (высота, проведенная к ЕВ, делит на два равных прямоугольных треугольника, отсюда и легко найти).

ΔCLA ~ ΔEBA следовательно из подобия $dfrac{CL}{EB}=dfrac{AC}{AC+CE}$

$dfrac{CL}{2BCcos alpha}=dfrac{AC}{AC+CE}$

BC = CE, тогда

$CL=dfrac{2cdot BCcdot ACcdotcosalpha}{AC+BC}$

Среднее гармоническое двух чисел a;b : $x_G=dfrac{2ab}{a+b}$, а среднее геометрическое - $x_{GEOM}=sqrt[]{ab}$. $x_Gleq x_{GEOM}$. В данном случае достигает максимума, когда выполняется равенство а=b.

Т.к. α — постоянная величина ; среднее гармоническое не превосходит среднего геометрического и достигает максимума , тогда и только тогда, когда AC=BC , а значит треугольник равнобедренный, отсюда CL - высота и медиана

По т. Пифагора из треугольника OLA:

$OL=sqrt{OA^2-AL^2}=sqrt{R^2-dfrac{c^2}{4}}=dfrac{1}{2}sqrt{4R^2-c^2}$

OC = OA = R, окончательно имеем:

$CL=OC+OL=R+dfrac{1}{2}sqrt{4R^2-c^2}$