Question

Обозначим через а и в корни уравнения 3х²+7х+4=0. Не решая данного уравнения, составить новое квадратное уравнение с числовым коэффициентом, корни которого равны а/(в-1) и в/(а-1)
​

Answer 1

Пользуемся теоремой Виета.

$1); ; 3x^2+7x+4=0; ; ; Rightarrow ; ; ; left { {{x_1cdot x_2=frac{4}{3}} atop {x_1+x_2=-frac{7}{3}}} right.; ; ,\\x_1=a; ,; ; x_2=b; ; Rightarrow ; ; left { {{ab=frac{4}{3}} atop {a+b=-frac{7}{3}}} right.\\2); ; x^2+px+q=0; ,; ; x_1=frac{a}{b-1}; ,; ; x_2=frac{b}{a-1}\\q=x_1cdot x_2=frac{a}{b-1}cdot frac{b}{a-1}=frac{ab}{(a-1)(b-1)}=frac{ab}{ab-a-b+1}=frac{ab}{ab-(a+b)+1}=\\=frac{frac{4}{3}}{frac{4}{3}+frac{7}{3}+1}=frac{4}{14}=frac{2}{7}$

$-p=x_1+x_2=frac{a}{b-1}+frac{b}{a-1}=frac{a^2-a+b^2-b}{(a-1)(b-1)}=frac{a^2+b^2-(a+b)}{ab-(a+b)+1}=\\=frac{(a+b)^2-2ab-(a+b)}{ab-(a+b)+1}=frac{frac{49}{9}-2cdot frac{4}{3}+frac{7}{3}}{frac{4}{3}+frac{7}{3}+1}=frac{46}{9cdot frac{14}{3}}=frac{23}{21}\\p=-frac{23}{21}\\3); ; x^2+px+q=x^2-frac{23}{21}cdot x+frac{2}{7}\\x^2-frac{23}{21}cdot x+frac{2}{7}=0\\21x^2-23, x+6=0; ; -; ; otvet$