Question

Найти точку пересечения двух взаимно перпендикулярных прямых, проходящих через фокусы гиперболы $frac{x^{2}}{16} - frac{y^{2}}{9} = 1$, если известно, что точка А(1, 12) лежит на прямой, проходящей через левый фокус с гиперболы.

Answer 1

Фокусное расстояние гиперболы c = √(a² + b²) = √(16 + 9) = 5.

Координаты фокусов F1(-5; 0) и F2(5;0).

Уравнение прямой, проходящей через точки F1 и А(1; 12):

(x + 5)/6 = y/12, сократив на 6, получаем у = 2х + 10.

Перпендикулярная прямая имеет угловой коэффициент к2 = -1/к1 = -1/2.  Уравнение её у = (-1/2)х + в. Для определения параметра в подставим координаты точки F2, через которую должна пройти прямая. 0 = (-1/2)*5 + в, отсюда в = 5/2 = 2,5.

Уравнение у = (-1/2)х + 2,5.

Точку пересечения двух взаимно перпендикулярных прямых, проходящих через фокусы гиперболы, находим, приравняв уравнения.

2х + 10 = (-1/2)х + 2,5.   Умножим на 2:  

4х + 20 = -х + 5.   5х = -15 х = 15/3 = -3.   у = 2*(-3) + 10 = -6 + 10 = 4.

Ответ: (-3; 4).