Question

В правильной треугольной пирамиде MABC боковые рёбра равны 10, а сторона основания равна 12. Точки G и F делят стороны основания AB и AC соответственно так, что AG:GB=AF:FC=1:5. а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MGF является равнобедренным треугольником. б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью MGF

Answer 1

а) В правильной треугольной пирамиде углы боковых граней и боковые рёбра равны. Отрезки  AG и AF равны (1/6)*12 = 2. То есть равны между собой. Это доказывает равенство отрезков МG и МF - треугольник MGF равнобедренный.

б) Отрезок GF из подобия находим, равным (1/6)*12 = 2.

Апофема боковой грани равна √(10² - 6²) = √64 = 8.

Тогда отрезки MG и  MF равны √(64 + (6 - 2)²) = √80 = 4√5.

Высота треугольника MGF равна √(80 - 1) = √79.

Ответ: S(MGF) = (1/2)*2*√79 = √79 кв.ед.