Question

Найти общее решение дифференциального уравнения:
y'×tgx-y=a

Answer 1

Для простоты умножим обе части уравнения на ctgx

$y'-ycdot{rm ctg},x=acdot{rm ctg}, x$

Следующее умножаем теперь левую и правую части уравнения на интегрирующий множитель

$mu(x)=e^{int-{rm ctg},xdx}=e^{-intfrac{cos x}{sin x}dx}=e^{-int frac{d(sin x)}{sin x}}=e^{-ln|sin x|}=dfrac{1}{sin x}$

$y'cdot dfrac{1}{sin x}-ycdot dfrac{cos x}{sin^2x}=acdotdfrac{cos x}{sin^2 x}\ \ y'cdot dfrac{1}{sin x}+ycdot left(dfrac{1}{sin x}right)'=acdot dfrac{cos x}{sin^2 x}\ \ left(ycdotdfrac{1}{sin x}right)'=acdotdfrac{cos x}{sin^2 x}~~~~Rightarrow~~~~ dfrac{y}{sin x}=displaystyle aintfrac{cos x}{sin^2 x}dx\ \ \ dfrac{y}{sin x}=aintfrac{d(sin x)}{sin^2x}~~~Longrightarrow~~~dfrac{y}{sin x}=aleft(-dfrac{1}{sin x}right)+C\ \ \~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~boxed{y=Csin x-a}$