Question

Исследуйте ряд на сходимость (если что "n+1" в скобках)

Answer 1

Ответ:

область сходимости $x in (-8;8)$

Пошаговое объяснение:

$sumlimits_{n=0}^inftyfrac{nx^n}{8^n(n+1)}$ - функциональный степенной ряд

Пусть  $bigg|u_n(x)bigg|=frac{nbig|x^nbig|}{8^n(n+1)}$, Пусть  $bigg|u_{n+1}(x)bigg|=frac{(n+1)big|x^{n+1}big|}{8^{n+1}(n+2)}$

Найдём предел: $limlimits_{n to infty}bigg|frac{u_{n+1}}{u_{n}}bigg|= limlimits_{n to infty}Bigg(frac{(n+1)big|xbig|^{n+1}}{8^{n+1}(n+2)}} times frac{8^n(n+1)}{nbig|xbig|^n}Bigg)$

$= frac{big|xbig|}{8}$

$big|xbig|<8\-8<x<8$

Пусть $x=8$

$sumlimits_{n=0}^inftyfrac{n8^n}{8^n(n+1)}$ - знакоположительный ряд

$sumlimits_{n=0}^inftyBigg(1-frac{1}{(n+1)}Bigg)$ - ряд расходится по достаточному признаку расходимости, т.к. предел равен 1

Пусть $x=-8$

$sumlimits_{n=1}^inftyfrac{n(-1)^n8^n}{8^n(n+1)}$ - знакочередующийся ряд.ряд расходится по достаточному признаку расходимости, т.к. предел равен 1

Ответ: область сходимости $x in (-8;8)$

Answer 2

Сейчас дорешаю, а то плохо видно