Question

При каких значениях a сумма квадратов двух различных корней уравнения x^2-4ax+5a=0 равна 6?​

Answer 1

x1+x2=4a

x1*x2=5a

x1²+2x1+x2=16a²

2x1*x2=10a

x1²+x2²=16a²-10a

16a²-10a-6=0

8a²-5a-3=0

D= 25+96= 121

a1= (5+11)/16= 1

a2= (5-11)/16= -3/8

Answer 2

Ответ:

$a=-\frac{3}{8}$

Объяснение:

Здесь стоит использовать небезызвестную теорему Виета. Согласно ей, сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену.

Второй коэффициент: $-4a$.

Свободный член: $5a$

Стало быть, $x_{1}+x_{2} =4a$,$x_{1}x_{2}=5a$

Только вот дело в том, что у нас нет ни суммы, ни произведени корней, а только сумма их квадратов. Выход прост: достаточно вспомнить одну из формул сокращенного умножения:

$(x_{1}+x_{2} )^{2} =x_{1} ^{2} +2x_{1}x_{2}+x_{2} ^{2}$

Выражаем отсюда сумму квадратов:

$x_{1} ^{2}+x_{2} ^{2}=(x_{1}+x_{2} )^{2}-2x_{1}x_{2}=(4a)^{2} -2*5a=16a^{2}-10a$

Из условия она равна 6:

$16a^{2}-10a=6$

Решаем квадратное уравнение:

$8a^{2}-5a-3=0\\ D=25+4*8*3=121\\ a_{1}=\frac{5-11}{16}=-\frac{3}{8} ; a_{2}=\frac{5+11}{16}=1$

Значения параметра получены, но еще рано писать их в ответ. Дело в том, что теорема Виета никак не может гарантировать, что корни уравнений при каждом из а будут различными: в общем случае они могут и совпадать или их вообще может не быть. От нас же в задаче требуют их наличие и, к тому же, различные. Следовательно, нужно проверить именно это относительно каждого а.

Тактика следующая: подставляем в общее уравнение каждое из а. Имеем два разных квадратных уравнения. За отличие корней, как известно, отвечает условие $D>0$.

1). $a=1$

$x^{2}-4x+5=0$

$D=16-20<0$ - вообще корни отсутствуют. Значит, данное значение а нас не устраивает.

2). $a=-\frac{3}{8}\\ x^{2} +\frac{3}{2} x-\frac{15}{8}=0\\ D=\frac{9}{4} +\frac{15}{2} >0$ - два различных корня.

Таким образом, лишь при $a=-\frac{3}{8}$ в полной мере достигаются все заданные требования. Это и есть ответ.