Question

Решить уравнение
y’’+8y’+16y=0 если y=3,y’=1, при x=0

Answer 1

$y''+8y'+16y=0\\\\k^2+8k+16=0\\\\(k+4)^2=0\; \; ,\; \; k_{1,2}=-4\\\\y_{obshee}=e^{-4x}\cdot (C_1+C_2\cdot x)\\\\y(0)=3:\; \; 3=e^{0}\cdot (C_1+0)\; \; ,\; \; C_1=3\\\\y'(x)=-4\cdot e^{-4x}\cdot (C_1+C_2\cdot x)+e^{-4x}\cdot C_2=e^{-4x}\cdot (-4C_1-4C_2\cdot x+C_2)\\\\y'(0)=1:\; \; 1=-12+C_2\; \; ,\; \; C_2=13\; ,\\\\y_{chastnoe}=e^{-4x}\cdot (3+13\, x)$