Question

Найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения (2x+((x^2+y^2)/(x^2 y)))dx=((x^2+y^2)/(xy^2))dy

Answer 1

$\left(2x+\frac{x^2+y^2}{x^2y}\right)dx=\frac{x^2+y^2}{xy^2}dy\\P=\left(2x+\frac{x^2+y^2}{x^2y}\right)=\left(2x+\frac{1}{y}+\frac{y}{x^2}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:Q=-\frac{x^2+y^2}{xy^2}=-\frac{x}{y^2}-\frac{1}{x}\\\frac{\partial P}{\partial y}=-\frac{1}{y^2}+\frac{1}{x^2}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\partial Q}{\partial x}=-\frac{1}{y^2}+\frac{1}{x^2}$

Так как частные производные равны, будем решать в полных дифференциалах.

$u=\int{\left(2x+\frac{1}{y}+\frac{y}{x^2}\right)dx=x^2+\frac{x}{y}+\frac{x}{y}+\varphi(y)$

$u'_y=-\frac{x}{y^2}-\frac{1}{x}+\varphi'(y)\\u'_y=Q\\-\frac{x}{y^2}-\frac{1}{x}+\varphi'(y)=-\frac{x}{y^2}-\frac{1}{x}\\\varphi'(y)=0=>\varphi=C\\x^2-\frac{y}{x}+\frac{x}{y}+C=0$

Answer 2

Перепишем уравнение в виде:

$\displaystyle \left(\frac{y}{x^2}+\frac{1}{y}+2x\right)dx+\left(-\frac{x}{y^2}-\frac{1}{x}\right)dy=0$

Здесь $M(x;y)=\dfrac{y}{x^2}+\dfrac{1}{y}+2x;~N(x;y)=-\dfrac{x}{y^2}-\dfrac{1}{x}$

$M'_y=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{y^2}=N'_x$

Т.е. это дифференциальное уравнение в полных дифференциалах.

$F=\displaystyle \int M(x;y)dx=\int \left(\dfrac{y}{x^2}+\dfrac{1}{y}+2x\right)dx=-\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}+x^2+C(y)$

Далее теперь продифференцируем по у, мы получим

$F'_y=-\dfrac{x}{y^2}-\dfrac{1}{x}+C'(y)$

Заметим, что $F'_y=N=-\dfrac{x}{y^2}-\dfrac{1}{x}$, отсюда $C'(y)=0~\Rightarrow~~ C(y)=0$

Общий интеграл: $-\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}+x^2=C$