Question

Срочно помощь нужна ​

Answer 1

$\sqrt{\frac{3}{2}+\cos^2(x)}=\sin(x)-\cos(x)$

Наложим ограничения на переменную х.

$1)\frac{3}{2}+\cos^2(x)\geq0=>x\in\mathbb R$

Из первого неравенства видно, что правая часть должна быть больше или равна корню из 3/2.

$2)\sin(x)-\cos(x)\geq\sqrt{\frac{3}{2}}\\\sin(x)-\cos(x)=\sqrt{\frac{3}{2}}\\\sin(x)-\cos(x)=-\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}\cos(x)}{2}-\frac{\sqrt{2}\sin(x)}{2}\right)=-\sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4})\cos(x)-\sin(\frac{\pi}{4})\sin(x)\right)=-\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{4}+x)$

$-\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{4}+x)=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\\\cos(\frac{\pi}{4}+x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\\frac{\pi}{4}+x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k, k\in\mathbb Z\\x=\frac{7\pi}{12}+2\pi k,k\in\mathbb Z \\\frac{\pi}{4}+x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k, k\in\mathbb Z\\x=\frac{11\pi}{12}+2\pi k,k\in\mathbb Z$

Теперь методом интервалов находим подходящий промежуток

$x\in\bigg[\frac{7\pi}{12}+2\pi k;\frac{11\pi}{12}+2\pi k\bigg],k\in\mathbb Z$

$\frac{3}{2}+\cos^2(x)=\sin^2(x)-2\cos(x)\sin(x)+\cos^2(x)\\sin^2(x)-2\sin(x)\cos(x)-\frac{3}{2}=0\\sin^2(x)-2\sin(x)\cos(x)-\frac{3}{2}\sin^2(x)-\frac{3}{2}\cos^2(x)=0\\-\frac{1}{2}\sin^2(x)-2\sin(x)\cos(x)-\frac{3}{2}\cos^2(x)=0\bigg/*(-2)\\\sin^2(x)+4\sin(x)\cos(x)+3\cos^2(x)=0\bigg/:\cos^2(x)\\\tan^2(x)+4\tan(x)+3=0\\D/4_{\tan(x)}=4-3=1\\\tan(x)=-2\pm1=-3;-1\\x=-\frac{\pi}{4}+\pi k,k\in\mathbb Z\\x=\arctan(-3)+\pi k, k\in\mathbb Z$

Теперь проверим на ОДЗ и получим окончательный ответ

$x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k,k\in\mathbb Z\\x=\pi+\arctan(-3)+2\pi k, k \in\mathbb Z$