Question

Діагональ рівнобічної трапеції поділяє висоту, проведену з вершини тупого кута, на відрізки завдовжки 10 см і 8 см. Знайдіть площу трапеції, якщо її менша основа дорівнює бічній стороні трапеції.
​

Answer 1

Дано: трапеция ABCD;  BC║AD;  AB = BC = CD;

          BK⊥AD;  BK ∩ AC = N;  BN = 10 см; NK = 8 см

Найти:  $S_{ABCD}$

Решение :

Пусть  AB = BC = CD = x.

ΔANK и ΔCNB - прямоугольные.

∠ANK = ∠CNB - как вертикальные углы,

⇒ ΔANK ~ ΔCNB  по острому углу.

$\dfrac{NK}{NB}=\dfrac{AK}{BC}\\\\AK=\dfrac{NK}{NB}\cdot BC=\dfrac8{10}\cdot x=\dfrac 45x$

ΔAKB - прямоугольный. По теореме Пифагора:

$AB^2=AK^2+BK^2\\\\x^2=\left(\dfrac45x\right)^2+(10+8)^2\\\\x^2=\dfrac{16}{25}x^2+18^2\\\\\dfrac9{25}x^2=18^2;\ \ \ x=18\cdot \dfrac53=30$

AB = BC = CD = 30 см

$AK=\dfrac45x=\dfrac45\cdot 30=24$ см

Трапеция равнобедренная:

⇒  AD = 2AK + BC = 2 · 24 + 30 = 78 см

$S_{ABCD}= \dfrac{AD+BC}2\cdot BK=\\\\=\dfrac{78+30}2\cdot (10+8)=108\cdot 9=972$

Ответ: S = 972 см²