Question

$3^{2x} - 2 ^{x+1} *3^{x} - 3*2^{2x} = 0$
Пожалуйста решите уравнение

Answer 1

Ответ:

$\log_{1,5} 3$

Пошаговое объяснение:

Сделаем замену для лучшего понимания уравнения

3^x=t, 2^x=k

Тогда

t^2 - 2kt-3*k^2=0    2kt потому что 2^(x+1)= 2*2^x = 2k

отсюда (t+k)(t-3k)=0

t=-k (не может быть, потому что у нас числа положительные)

t=3k (а вот это вполне реально), подставим

3^x = 3 * 2^x

(3/2)^x = 3

1,5^x=3

x=log 1,5 (3) - (логарифм 3 по основанию 1,5)

Answer 2

${3}^{2x} - {2}^{x + 1} \times {3}^{x} - 3 \times {2}^{2x} = 0 \\ \\ {9}^{x} - 2 \times {2}^{x} \times {3}^{x} - 3 \times {4}^{x} = 0 \\ \\ {9}^{x} - 2 \times {6}^{x} - 3 \times {4}^{x} = 0 \\ \\ \frac{ {9}^{x} }{ {4}^{x} } - \frac{2 \times {6}^{x} }{ {4}^{x} } - \frac{3 \times {4}^{x} }{ {4}^{x} } = 0 \\ \\ {( \frac{3}{2} )}^{2x} - 2 \times { (\frac{3}{2} )}^{x} - 3 = 0$

Пусть (3/2)^х = а , а > 0 , тогда

${a}^{2} - 2a - 3 = 0 \\ \\ {a}^{2} + a - 3a - 3 = 0 \\ \\ a(a + 1) - 3(a + 1) = 0 \\ \\ (a + 1)(a - 3) = 0 \\ \\ 1) \: \: \: \: a = - 1$

не подходит, так как а > 0

$2) \: \: \: a = 3 \\ \\ {( \frac{3}{2} )}^{x} = 3 \\ \\ x = log_{ \frac{3}{2} }(3)$

ОТВЕТ: log_(3/2) (3)