Question

привет.
помогите решить 15 и 14 задания.

Answer 1

14. а) Пусть AA₁ — диаметр верхнего основания, O₁ — его центр, CC₁ — диаметр нижнего основания, O₂ — его центр, AC∩O₁O₂ = S, H₁H₂ — образующая цилиндра, B∈H₁H₂. Также обозначим ось цилиндра, а равно и его образующие за h.

$AC^2=CC_1^2+AC_1^2=4R^2+h^2$

A₁CH₂H₁ и AC₁H₂H₁ — прямоугольники ⇒ A₁H₁ = CH₂, AH₁ = C₁H₂. Пусть A₁H₁ = CH₂ = y. Тогда в прямоугольном треугольнике AA₁H₁ (один из углов опирается на диаметр описанной окружности) $AH_1^2=4R^2-y^2$.

Пусть H₁B = x, тогда BH₂ = h - x.

$AB^2=AH_1^2+BH_1^2=4R^2-y^2+x^2\\BC^2=CH_2^2+BH_2^2=y^2+(h-x)^2=y^2+h^2-2hx+x^2$

По теореме косинусов:

$AC^2=AB^2+BC^2-2*AB*AC*\cos{\angle{ABC}}\\\cos{\angle{ABC}}=\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2*AB*AC}$

Так как 2*AB*AC > 0, знак косинуса зависит от знака числителя. Сравним AB² + BC² и AC²:

$AB^2+BC^2\vee AC^2\\4R^2-y^2+x^2+y^2+h^2-2hx+x^2\vee 4R^2+h^2\\2x^2-2hx\vee 0\\x-h\vee 0$

Очевидно, часть (x) меньше целого (h), значит, AB² + BC² < AC², то есть косинус отрицателен, а значит, угол тупой, что и требовалось доказать.

б) Прямоугольные треугольники SO₁A и SO₂C равны по стороне (O₁A = CO₂ = R) и острому углу (∠O₁SA = ∠O₂SC) ⇒ O₁S = SO₂. O₁SBH₁ — параллелограмм, так как O₁S || H₁B и O₁S = H₁B = h/2 ⇒ O₁H₁ = SB, но O₁H₁ = R ⇒ SB = R.

В треугольнике ABC по теореме косинусов:

$AC=\sqrt{AB^2+BC^2-2*AB*AC*\cos{\angle{ABC}}}=\\=\sqrt{9+25-2*3*5*(-\frac{1}{2})}=\sqrt{49}=7$

Пусть ∠BSC = α, тогда ∠BSA = π-α. Применим теорему косинусов к треугольникам BSC и BSA:

$BC^2=BS^2+SC^2-2*BS*SC*\cos{\angle{BSC}}\\25=R^2+\frac{49}{4}-7R\cos{\alpha}\ (1)\\AB^2=BS^2+SA^2-2*BS*AS*\cos{\angle{BSA}}\\9=R^2+\frac{49}{4}-7R\cos{(\pi-\alpha)}=R^2+\frac{49}{4}+7R\cos{\alpha}\ (2)$

Сложим равенства (1) и (2):

$34=2R^2+\frac{49}{2}\\R^2=\frac{19}{4}\Rightarrow R=\frac{\sqrt{19}}{2}$

Ответ: б) $\frac{\sqrt{19}}{2}$

15. $15^x-5*5^x-6*3^x-3*3^x+3*15\leq 0$

$15^x-5*5^x-9*3^x+45\leq 0\\5^x(3^x-5)-9(3^x-5)\leq 0\\(3^x-5)(5^x-9)\leq 0\\(3^x-3^{\log_3{5}})(5^x-5^{\log_5{9}})\leq 0\\(x-\log_3{5})(x-\log_5{9})\leq 0$

Ответом является отрезок между $\log_3{5}$ и $\log_5{9}$. Сравним $\log_3{5}\vee \log_5{9}$:

Попробуем сравнить их с 1,5:

$\log_3{5}\vee\frac{3}{2}\\5\vee 3^\frac{3}{2}\\\sqrt{25}<\sqrt{27}$   $\log_5{9}\vee \frac{3}{2}\\9\vee 5^\frac{3}{2}\\\sqrt{81}<\sqrt{125}$

Оба логарифма меньше 1,5. Тогда попробуем сравнить с 1,4:

$\log_3{5}\vee\frac{7}{5}\\5\vee 3^\frac{7}{5}\\\sqrt[5]{3125}> \sqrt[5]{2187}$   $\log_5{9}\vee\frac{7}{5}\\9\vee 5^{\frac{7}{5}}\\\sqrt[5]{59049}< \sqrt[5]{78125}$

$\log_5{9}<\frac{7}{5}<\log_3{5}$

Ответ: $[\log_5{9};\log_3{5}]$

Answer 2

14) a) 14)а) Если угол АВС спроецировать на основание, то угол А1В1С будет прямым как опирающийся на диаметр.

Если проекция угла представляет угол 90°, то проецируемый угол будет прямым лишь при условии, что одна из сторон этого угла параллельна плоскости проекций.

А так как точка В лежит ниже уровня верхнего основания, то угол АВС - тупой.

б) Находим длину отрезка АС по теореме косинусов:

АС = √(3³ + 5² - 2*3*5*cos 120°) = √(9 + 25 - 30*(-1/2)) = √49 = 7.

Так как по заданию точка В в середине образующей, то отрезок ОВ равен радиусу R окружности основания.

Для треугольника АВС отрезок ОВ - это медиана (точка О - середина АС).

R = m = (1/2)√(2b²  + 2c² - a²) = (1/2)√(2*3²  + 2*5² - 7²) = (1/2)√(18  + 50 - 49) = (1/2)√19 ≈  2,17945.

15) Раскроем выражения:

3^x*5^x - 5*5^x - 6*3^x <= 3*3^x - 9*5.

Правую часть перенесём  влево:

3^x*5^x - 5*5^x - 6*3^x -3*3^x + 9*5 <= 0.

3^x*5^x - 5*5^x - 9*3^x + 9*5 <= 0.

Выносим общий множитель:

5^x (3^x - 5) - 9(3^x - 5) <= 0.

(3^x - 5)(5^x - 9) <= 0.

Отсюда получаем ответ:

$\frac{2ln3}{ln5}<=x<=\frac{ln5}{ln3}.$

Можно выразить в числах: 1,36521 <= x <= 1,46497.