Question

Помогите решить, пожалуйста. Желательно расписать все максимально подробно

Answer 1

Мы имеем ограничения — корни и знаменатель. Проблема в том, что для числителя правой части сложно написать адекватное ОДЗ. А можно ли обойтись без него?

Оказывается, можно. Достаточно записать, что:

$\left \{ {{7-x\geq 0} \atop {x-1>0}} \right. \Rightarrow x\in(1;7]$

Возведём в квадрат обе части (так как они положительны, имеем право сделать это) и посмотрим, что получится:

$0\leq 7-x<\frac{x^3-6x^2+14x-7}{x-1} \Rightarrow \frac{x^3-6x^2+14x-7}{x-1}> 0$

Дробь положительна, если и числитель, и знаменатель имеют одинаковый знак. По ограничению, которое мы записали выше, знаменатель положителен, значит, числитель обязан быть положительным, то есть это страшное ОДЗ выполняется автоматически. Теперь можно решить получившееся неравенство:

$\frac{x^3-6x^2+14x-7}{x-1}+x-7>0\\\frac{x^3-6x^2+14x-7+(x-7)(x-1)}{x-1}>0\\\frac{x^3-6x^2+14x-7+x^2-8x+7}{x-1}>0\\\frac{x^3-5x^2+6x}{x-1}>0\\\frac{x(x^2-5x+6)}{x-1}>0\\\frac{x(x-2)(x-3)}{x-1}>0 \Rightarrow x\in(-\infty;0)\cup(1;2)\cup(3;+\infty)$

Пересекая полученное решение с ограничениями, получим правильный ответ.

Ответ: $(1;2)\cup(3;7]$