Question

Помогите решить все задния пожалуйста

Answer 1

3. $(\frac{3}{2})^{-\frac{6}{x}}\leq (\frac{3}{2})^{\frac{2}{3-x}}$

$-\frac{6}{x}\leq \frac{2}{3-x}\\\frac{2}{3-x}+\frac{6}{x}\geq 0\\\frac{2x+18-6x}{x(3-x)}\geq 0\\\frac{2x-9}{x(x-3)}\geq 0\Rightarrow x\in(0;3)\cup[\frac{9}{2};+\infty)$

Ответ: $(0;3)\cup[\frac{9}{2};+\infty)$

4. Сумма логарифмов есть логарифм произведения:

$\log_2{(b_1*b_2*...*b_{50})}=1325\\\log_2{(b_1*b_2*...*b_{30})}=495$

В общем виде произведение первых n членов геометрической прогрессии равно:

$b_1*b_2*...*b_n=b_1*b_1*q*b_1*q^2*...*b_1*q^{n-1}=b_1^n*q^{1+2+...+n-1}=\\=b_1^n*q^{\frac{n(n-1)}{2}}$

Тогда:

$\log_2{(b_1^{50}*q^{1225})}=1325\\\log_2{(b_1^{30}*q^{435})}=495\\\log_2{(b_1^{50}*q^{1225})}-\log_2{(b_1^{30}*q^{435})}=\log_2{(b_1^{20}*q^{790})}=830\Rightarrow\\\Rightarrow b_1^{20}*q^{790}=2^{830}\\b_1^2*q^{79}=2^{83}$

Если бы b₁ и q были равны 2, то $b_1^2*q^{79}=2^{81}$. Если же b₁ возвести в квадрат, то есть принять равным 4, то $b_1^2*q^{79}=2^{83}$, отсюда b₁ = 4, q = 2.

Сумма первых 10 членов прогрессии равна:

$\frac{b_1(q^{10}-1)}{q-1}=\frac{4*(2^{10}-1)}{2-1}=2^{12}-4=4092$

Ответ: 4092

5. Выразим косинус из второго уравнения:

$tg^2x+1=4+1=5=\frac{1}{\cos^2{x}}\Leftrightarrow \cos{x}=\pm\frac{1}{\sqrt{5}}$

Преобразуем также первое уравнение:

$5\sin{y}-3\sqrt{5}\cos{x}=7-2(1-\sin^2{y})\\2\sin^2{y}-5\sin{y}+5+3\sqrt{5}\cos{x}=0$

1 случай: $\cos{x}=-\frac{1}{\sqrt{5}}$

$2\sin^2{y}-5\sin{y}+2=0$

Уравнение $x^2-5x+4=0$ имеет корни 1 и 4, значит, исходное уравнение имеет корни $\frac{1}{2}$ и 2.

$\left [ {{\sin{y}=\frac{1}{2}} \atop {\sin{y}=2}} \right. \Rightarrow y=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k, k\in\mathbb{Z}$

При таком значении косинуса тангенс может равняться 2 или -2. $\arccos{(-\frac{1}{\sqrt{5}})$ лежит во II четверти, то есть тангенс равен -2, что не удовлетворяет второму уравнению. А при $-\arccos{(-\frac{1}{\sqrt{5}})$ тангенс равен 2. Поэтому:

$x=-\arccos{(-\frac{1}{\sqrt{5}})}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}$

2 случай: $\cos{x}=\frac{1}{\sqrt{5}}$

$2\sin^2{y}-5\sin{y}+8=0\\D=25-4*2*8<0$

В данном случае решений нет.

Ответ: $(-\arccos{(-\frac{1}{\sqrt{5}})}+2\pi n,(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k),\ n,k\in\mathbb{Z}$