Question

При каких значениях параметра а система уравнений не имеет решений?

Answer 1

Начертим график первого уравнения:

При $x^2-x-6\geq 0\Leftrightarrow x\in(-\infty;-2]\cup[3;+\infty)$:

$x^2-x-6=(y-1)^2+x-7\\x^2-2x+1=(y-1)^2\\(x-1)^2=(y-1)^2 \Leftrightarrow \left [ {{y=x} \atop {y=-x+2}} \right.$

При $x\in (-2;3)$:

$-x^2+x+6=(y-1)^2+x-7\\x^2+(y-1)^2=13$

Это уравнение окружности с центром в точке (0; 1) и радиусом √13.

Второе уравнение — прямая с коэффициентом $\frac{2}{3}$. Он меньше 1, поэтому при некоторых значениях параметра прямая как бы пролетает сквозь дыру в первом графике, то есть система не имеет решений.

Система "начинает" иметь решения, когда прямая проходит через точки (3; 3) и выше или (-2; -2) и ниже. Нам нужно, чтобы прямая находилась между этими точками. Найдём граничные значения a:

$3*3=2*3+a \Leftrightarrow a=3\\3*(-2)=2*(-2)+a\Leftrightarrow a=-2$

Ответ: $(-2;3)$