Question

Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет решение.
$\sqrt{x-2a}+\sqrt{x+3}=4$

Answer 1

Попробуем решить задачу в лоб.

ОДЗ: $\left \{ {{x\geq 2a\ (1)} \atop {x\geq -3\ (2)}} \right.$

Возведём обе части в квадрат:

$x-2a+x+3+2\sqrt{(x-2a)(x+3)}=16\\2\sqrt{(x-2a)(x+3)}=13+2a-2x \Rightarrow x\leq a+\frac{13}{2}\ (3)$

Возведём это всё ещё раз в квадрат:

$4(x-2a)(x+3)=169+4a^2+4x^2+52a-52x-8ax\\4x^2-8ax+12x-24a=169+4a^2+4x^2+52a-52x-8ax\\64x=4a^2+76a+169$

Линейное уравнение всегда имеет ровно один корень. Осталось проверить, существует ли этот корень:

Условие 1:

$x\geq 2a\\64x\geq 128a\\4a^2+76a+169\geq 128a\\4a^2-52a+169\geq 0\\(2a-13)^2\geq 0\Rightarrow a\in\mathbb{R}$

Условие 2:

$x\geq -3\\64x\geq -192\\4a^2+76a+169\geq -192\\4a^2+76a+361\geq 0\\(2a+19)^2\geq 0\Rightarrow a\in\mathbb{R}$

Условие 3:

$x\leq a+\frac{13}{2}\\64x\leq 64a+416\\4a^2+76a+169\leq 64a+416\\4a^2+12a-247\leq 0\\(2a+19)(2a-13)\leq 0\Rightarrow a\in [-\frac{19}{2};\frac{13}{2}]$

Ответ: $[-\frac{19}{2};\frac{13}{2}]$