Question

Помогите пожалуйста решить неравенство, фото прикреплено.. Заранее спасибо))

Answer 1

Пусть $\sqrt{4(x-1)}=2\sqrt{x-1}=t\Rightarrow x=\frac{t^2}{4}+1$

Тогда заметим, что

$\sqrt{x\pm\sqrt{4(x-1)}} =\sqrt{\frac{t^2}{4}+1\pm t}=\sqrt{\frac{t^2\pm 4t+4}{4}}=\frac{|t\pm 2|}{2}=\frac{|2\sqrt{x-1}\pm 2|}{2}=\\=|\sqrt{x-1}\pm 1|$

Выражение в знаменателе преобразуем:

$\sqrt{x^2-4(x-1)}=\sqrt{x^2-4x+4}=\sqrt{(x-2)^2}=|x-2|$

Тогда исходное неравенство равносильно следующему:

$\frac{|\sqrt{x-1}-1|+|\sqrt{x-1}+1|}{|x-2|}>2 \Leftrightarrow\frac{|\sqrt{x-1}-1|+\sqrt{x-1}+1}{|x-2|}>2$

Заметим, что модуль в числителе и модуль в знаменателе обращаются в ноль при 2. То есть на промежутках они раскрываются одинаково:

Если x > 2:

$\frac{\sqrt{x-1}-1+\sqrt{x-1}+1}{x-2}>2\\\frac{\sqrt{x-1}}{x-2}>1\\\sqrt{x-1}>x-2\\x-1>x^2-4x+4\\x^2-5x+5<0\\x\in (\frac{5-\sqrt{5}}{2};\frac{5+\sqrt{5}}{2})$

Учитывая ограничения, получаем $x\in (2;\frac{5+\sqrt{5}}{2})$

Если 1 ≤ x < 2:

$\frac{1-\sqrt{x-1}+\sqrt{x-1}+1}{2-x}>2\\\frac{1}{2-x}>1\\1>2-x\\x>1$

Учитывя ограничения, получаем $x\in (1; 2)$

Теперь объединим промежутки и получим ответ.

Ответ: $(1;2)\cup(2;\frac{5+\sqrt{5}}{2})$