Question

всегда ли в прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла лежит между медианой и высотой прямого угла(если можно докажите, треугольник с неравными сторонами)

Answer 1

В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит пополам угол между медианой и высотой, опущенными на гипотенузу.

Пусть в ΔABC угол ABC прямой, BD — высота, BE — биссектриса и BF — медиана.

Так как BF = FC, то ∠CBF = ∠AСВ. Но

∠ABD = π/2 — ∠BAD = ∠ACB.

Следовательно, ∠ABD = ∠CBF.

Так как углы между биссектрисой и катетами равны по 45  градусов, то если от этих углов отнять равные величины, то и получим равные углы.

∠DBE = ∠ABE — ∠ABD = ∠CBE — ∠CBF = ∠FBE.

Значит, биссектриса всегда находится между высотой и медианой. Исключение - при равных катетах: тогда все эти линии совпадают.

Answer 2

Пусть АВ > ВС, тогда по свойству биссектрисы: AL/LC = AB/BC > 1 , также АО/ОС = 1 ⇒ точка L лежит правее точки О

Против бОльшей стороны лежит бОльший угол : АВ > ВС ⇒ ∠С > ∠А. Чем больше угол, тем меньше значение косинуса этого угла ⇒ cos∠C < cos∠A

AB/BC > 1 ;  cos∠A / cos∠C > 1

AH/HC = (AB•cos∠A) / (BC•cos∠C) =

=  (AB/BC) • (cos∠A /cos∠C)  > AB/BC

АО/ОС < ОL/LC < AH/HC

Значит, точка Н лежит правее точки L, то есть биссектриса прямого лежит между медианой и высотой прямого угла.

Также можно ссылаться на то, что вершины  L₁ и В перпендикуляров L₁О и ВН к АС лежат на биссектрисе BL.

Аналогично доказывается случай, когда ВС > АВ. В случае прямоугольного равнобедренного треугольника, АВ = ВС  биссектриса, медиана и высота совпадают.

Данное доказательство можно применить и на произвольном треугольнике.

Вывод:  В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла не всегда лежит между медианой и высотой прямого угла.