Ответы
Дана функция у = (х² - 2х + 2)/(х - 1).
Полное исследование функций по схеме:
1. Область определения функции: х ∈ R, x ≠ 1.
2. Непрерывность функции, вертикальные асимптоты: непрерывна кроме точки х = 1, где имеем разрыв функции и вертикальную асимптоту.
3. Точки пересечения функции с осями координат.
С осью Оу при х = 0. Подставим:
(0² - 2*0 + 2)/(0 - 1) = -2.
С осью Ох при у = 0.
Приравниваем числитель нулю:
х² - 2х + 2 = 0. Д = 4 - 4*1*2 = -4. Нет корня.
График не пересекает ось Ох.
4. Четность, нечетность. Сравним f(x) и f(-x).
f(-x) = (х² + 2х + 2)/(-х - 1) ≠ f(x),
f(-x) = -(х² + 2х + 2)/(х + 1) ≠ f(-x), значит, функция общего вида.
5. Периодичность - не периодичная.
6. Промежутки возрастания, убывания, экстремумы функции.
Находим производную функции.
y' = (2x - 2)(x - 1) - 1* (x² - 2x + 2)/ (x - 1)² = (х² - 2x)/(x² - 1).
Приравняем нулю (достаточно числитель): х² - 2x = х(х - 2) = 0.
Отсюда имеем 2 критические точки: х = 0 и х = 2.
Находим знаки производной на полученных промежутках.
х = -1 0 0,5 1 1,5 2 3
y' = 0,75 0 -3 - -3 0 0,75.
Возрастает на промежутках (-∞; ; 0) и (2; +∞).
Убывает на промежутках (0; 1) и (1; 2).
Максимум в точке х = 0, минимум в точке х = 2.
7. Промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба.
Вторая производная равна y'' = 2/(x - 1)³.
При х меньше 1 вторая производная отрицательна, график выпуклый, пр х больше 1 вторая производная положительна, график вогнутый.
Так как вторая производная не может быть равна 0, то точки перегиба нет.
8. Наклонные асимптоты. Это прямая у = х - 1. Детали в приложении.
9. Построение графика.
Таблица точек:
x y
-2.0 -3.333
-1.5 -2.9
-1.0 -2.5
-0.5 -2.167
0 -2
0.5 -2.5
1.0 -
1.5 2.5
2.0 2
2.5 2.167
3.0 2.5
3.5 2.9
4.0 3.333.
Сам график в приложении.
