Question

2 sin⁡(x)+cos(⁡x)=2 тригонометрическое уравнение

Answer 1

2sin x + cos x = 2

Один из способов:

$2\cdot2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+(\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2})=2(\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2})$

Раскроем скобки, упростим, перенесем в одну часть относительно знака "=":

$3\sin^2\frac{x}{2}-4\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}=0$

Делим обе части на $\cos^2\frac{x}{2}\neq 0$

$3tg^2\frac{x}{2}-4tg\frac{x}{2}+1=0\\ tg\frac{x}{2}=y\\ 3y^2-4y+1=0\\ y_1=1,\ y_2=\frac{1}{3}\\ \left[ \begin{matrix} tg\frac{x}{2}=1\\ tg\frac{x}{2}=\frac{1}{3} \end{matrix}\right\ \Rightarrow \left[ \begin{matrix} \frac{x}{2}=\frac{\pi }{4}+\pi k,\ k\in Z \\ \frac{x}{2}=arctg\frac{1}{3}+\pi n,\ n\in Z \end{matrix}\right\ \Rightarrow \left[ \begin{matrix} x=\frac{\pi }{2}+2\pi k,\ k\in Z \\ x=2arctg\frac{1}{3}+2\pi n,\ n\in Z \end{matrix}\right$

Ответ: $\frac{\pi }{2}+2\pi k,\ 2arctg\frac{1}{3}+2\pi n,\ k,n\in Z.$