Question

На трибунах арены «Динамо» собралось 2015 болельщиков. Могло ли так случиться, что для
каждого неотрицательного целого k выполняется следующее свойство: если есть болельщик,
знакомый ровно с k другими болельщиками, то есть ровно k болельщиков с таким свойством?

Answer 1

Предположим, что указанное свойство было выполнено. Представим болельщиков в виде вершин графа, а их знакомства - в виде рёбер. Группой вершин степени k назовём множество всех вершин степени k. По условию задачи в группе вершин степени k будет ровно k вершин. Если k чётно, то сумма степеней вершин в группе тоже чётна, а если k нечётно, то сумма степеней группы нечётна. Так как 2015 - нечётное число, групп с нечётным k будет нечётное число, что означает, что сумма степеней всех вершин нечётна, что неверно, так как сумма степеней всех вершин любого графа чётна.

Ответ: Не могло.