Question

Доведіть, що 5a^2 – 4a + 2ab + b^2 + 2 > 0 при всіх дійсних значеннях a і b.

Answer 1

$5a^2-4a+2ab+b^2+2=a^2+4a^2-4a+2ab+b^2+1+1=a^2+2ab+b^2+\\+4a^2-4a+1+1=(a+b)^2+(2a-1)^2+1$

Сумма двух квадратов — число неотрицательное, значит,

$(a+b)^2+(2a-1)^2+1\geq 1>0$

Что и требовалось доказать.