Question

Помогите решить, пожалуйста

Answer 1

$4^{x}\cdot3^{\frac{x}{x-1}}=144$

О.Д.З.: х ≠1

Прологарифмируем по основанию 4:

$\log_4(4^{x}\cdot3^{\frac{x}{x-1}})=\log_4144\\ \log_44^{x}+\log_43^{\frac{x}{x-1}}=\log_4(16\cdot9)\\ x+\frac{x}{x-1}\log_43=2+\log_49\\ x^2-x+x\log_43-2x+2-2x\log_43+2\log_43=0\\ x^2-(3+\log_43)x+(2+2\log_43)=0$

Решаем полученное квадратное уравнение.

$D=(3+\log_43)^2-4\cdot(2+2\log_43)=9+6\log_43+(\log_43)^2-8-8\log_43=\\ =(\log_43)^2-2\log_43+1=(\log_43-1)^2;\\ \\ \sqrt{D}=\sqrt{(\log_43-1)^2}=|\log_43-1|=1-\log_43;\\ \\x=\dfrac{(3+\log_43)\б(1-\log_43)}{2};$

$x_1=\dfrac{3+\log_43+1-\log_43}{2}=2;\\ x_2=\dfrac{3+\log_43-1+\log_43}{2}=1+\log_43=\log_412.$

Сравним корни:

$x_1=2=\log_44^2=\log_416>\log_412=x_2$

Значит, $\log_412$ - меньший корень

$4^{x}=4^{\log_412}=12.$

Ответ: 12.