Question

Около остроугольного треугольника АВС описана окружность с центром О. АН высота этого треугольника. АВ=15,АС=16, 5АН=6АО. Найдите площадь треугольника ОАС.

Answer 1

Ответ:

48

Объяснение:

Введем обозначения:

h = АН - высота,

R = АО = СО - радиус описанной окружности,

а = ВС,

b = АС = 16

с = АВ = 15.

По условию 5АН = 6АО, т.е.

5h = 6R,  ⇒  $h=\dfrac{6R}{5}$

Площадь треугольника АВС можно найти по двум формулам:

$S=\dfrac{abc}{4R}$   или    $S=\dfrac{ah}{2}$

Приравняем правые части:

$\dfrac{abc}{4R}=\dfrac{ah}{2}$

$\dfrac{bc}{4R}=\dfrac{h}{2}$

$2Rh=bc$

$2R\cdot \dfrac{6R}{5}=16\cdot 15$

$\dfrac{3R^{2}}{5}=60$

$R^{2}=100$

R = 10

Полупериметр треугольника АОС:

$p=\dfrac{R + R + b}{2}=\dfrac{10 + 10 + 16}{2}=18$

Площадь треугольника АОС по формуле Герона:

$Saoc=\sqrt{p(p-R)(p-R)(p-b)}=\sqrt{18\cdot 8\cdot 8\cdot 2}=6\cdot 8=48$