Question

Около остроугольного треугольника АВС описана окружность с центром О. АН высота этого треугольника. АВ=15,АС=16, 5АН=6АО. Найдите площадь треугольника ОАС.

Answer 1

Ответ:

решение представлено на фото

Answer 2

Проведём ON ⊥ AC ⇒ ON - биссектриса и медиана равнобедренного треугольника AOC, тогда ∠AON = 0.5∠AOC. Так как ∠ABC - вписанный, то он равен половине центрального угла АОС, т.е. ∠ABC = 0.5∠AOC ⇒ ∠AON = ∠ABC, следовательно, ΔAON ~ ΔABH (по двум углам). Из подобия треугольников следует, что $\sf \dfrac{AN}{AH}=\dfrac{AO}{AB}$

$\sf \dfrac{8}{\dfrac{6AO}{5}}=\dfrac{AO}{15}~~\Rightarrow~~~ AO^2=100~~\Rightarrow~~ AO=10;$

Из прямоугольного треугольника AON по теореме Пифагора

$\sf ON=\sqrt{AO^2-AN^2}=\sqrt{AO^2-(AC/2)^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$

Площадь треугольника AOC:

                      $\sf S_{зAOC}=\dfrac{1}{2}\cdot AC\cdot ON=\dfrac{1}{2}\cdot16\cdot6=48$ кв. ед.

Ответ: 48 кв. ед.