Question

Условия, на фото помогите :(

Answer 1

Треугольник АВС - прямоугольный (∠C = 90°), AC = 4 см, проекция катета ВС на гипотенузу равна 6 см. Найдите площадь треугольника ABC

Решение:

Пусть гипотенуза AB = x см, тогда AD = AB - BD = x - 6 см.

Катет есть среднее пропорциональное между проекцией катета и гипотенузой, то есть: $\sf AC^2=AB\cdot AD$

$\sf 4^2=x\cdot (x-6)\\ \\ x^2-6x-16=0$

По теореме Виета

$\sf x_1=-2$ - не удовлетворяет условию;

$\sf x_2=8$ см - длина гипотенузы AB

Тогда проекция катета АС на гипотенузу: AD = 2 см.

Высота, проведенная из прямого угла на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов.

$\sf CD=\sqrt{AD\cdot BD}=\sqrt{2\cdot6}=2\sqrt{3}$ см

Площадь треугольника ABC:

                                     $\sf S_{зABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot CD=\dfrac{1}{2}\cdot8\cdot 2\sqrt{3}=8\sqrt{3}$ см²

Ответ: 8√3 см².