Question

Здравствуйте, попалось такое тригонометрическое уравнение: $cos2x+3sinx=2$ . Я его решил и получил корни: 1, 0.5. Необходимо теперь определить, сколько корней входит в промежуток $[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$ , а также определить наименьший корень в градусах и наибольший. Правильно ли я понимаю, что входят три корня: $\frac{\pi }{2}, -\frac{\pi }{2} , \frac{\pi }{6}$ , наименьший равен -90°, а наибольший равен 90°? Спасибо за помощь!

Answer 1

$\cos 2x+3\sin x=2\\ \\ 1-2\sin^2x+3\sin x=2\\ \\ 2\sin^2x-3\sin x+1=0$

Пусть $\sin x=t$, причем $|t|\leq 1$, мы получим

$2t^2-3t+1=0\\ \\ 2t^2-2t-t+1=0\\ \\ 2t(t-1)-(t-1)=0\\ \\ (t-1)(2t-1)=0\\ \\ t_1=1;~~~ t_2=\dfrac{1}{2}$

Выполним обратную замену

$\left[\begin{array}{ccc}\sin x=1\\ \\ \sin x =\dfrac{1}{2}\end{array}\right~~~\Rightarrow~~~\left[\begin{array}{ccc}x_1=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \\ x_2=(-1)^k\cdot \dfrac{\pi}{6}+\pi k,k \in \mathbb{Z}\end{array}\right$

Отбор корней

Для корня $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,k \in \mathbb{Z}$

k = 0;  x = π/2

Для корня $x=(-1)^k\cdot\dfrac{\pi}{6}+\pi k,k \in \mathbb{Z}$

k = 0:  x = π/6

Количество корней: 2. Наибольший корень 90°, а наименьший: 30°.