Question

В равнобокой трапеции перпендикулярно к боковой стороне проведена диагональ образовывая угол 30 градусов с основанием , найдите площадь трапеции . Трапеция вписана в оружность и радиус равен R

Answer 1

Поскольку В и С видны под одним и тем же углом, то точки ABCD лежат на окружности с диаметром AD = 2R. Из прямоугольного треугольника ACD: против угла 30° катет в два раза меньше гипотенузы, т.е. CD = AD/2 = R, ∠D = 90° - 30° = 60°.

Из прямоугольного треугольника CND: $DN=\dfrac{CD}{2}=\dfrac{R}{2}$ и $CN=CD\sin 60^\circ=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}$

$\dfrac{AD-BC}{2}=ND~~\Rightarrow~~~ BC=AD-2ND=2R-2\cdot\dfrac{R}{2}=R$

Площадь трапеции: $S=\dfrac{AD+BC}{2}\cdot CN=\dfrac{2R+R}{2}\cdot\dfrac{R\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3R^2\sqrt{3}}{4}$ кв. ед.