Question

Одна из сторон треугольника равна корень из 7, а другая корень из 3. Известно, что третья сторона треугольника равна медиане, проведенной к ней же.

Найдите:
1) третью сторону треугольника
2) площадь треугольника
3) радиус описанной вокруг треугольника окружности

Answer 1

Пусть $AB=\sqrt{7};~AC=\sqrt{3}$. Из условия AE = BC, а так как

AM - медиана треугольника ABC, то BE = EC = BC/2 = AE/2.

Сделаем дополнительное построение, т.е. построим до параллелограмма ABDC, в нём AD = 2AE = 2BC, тогда сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:

$AD^2+BC^2=2(AB^2+AC^2)\\ \\ (2BC)^2+BC^2=2\cdot (\sqrt{7})^2+2\cdot (\sqrt{3})^2\\ \\ 5BC^2=14+6\\ \\ BC^2=4\\ \\ BC=2$

Не трудно заметить, что треугольник ABC - прямоугольный с гипотенузой AB = √7 и катетами AC = √3; BC = 2.

2) Площадь треугольника: $S=\dfrac{BC\cdot AC}{2}=\dfrac{2\cdot\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$ кв. ед.

3) Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, значит радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.

$R=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{\sqrt{7}}{2}$