Question

Сума n перших членів арифметичної прогресії обчислюється за формулою Sn=6n-n^2. Знайдіть:
1) різницю цієї прогресії
2)скільки членів цієї прогресії, починаючи з першого необхідно щоб сума була найбільшою.
Дайте решение детально

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Sn=6n-n²

1) S₂=6*2-2²=12-4=8   ⇒

S₂=(a₁+a₂)*2/2=a₁+a₁+d=2a₁+d=8.

S₃=6*3-3²=18-9=9

S₃=(a₁+a₃)*3/2=(a₁+a₁+2d)*3/2=(2*a₁+2d)*3/2=2*(a₁+d)*3/2=3*(a₁+d)=9.

{2a₁+d=8  |÷2       {a₁+0,5d=4

{3*(a₁+d)=9 |÷3     {a₁+d=3

Вычитаем из второго уравнения первое:

0,5d=-1  |×2

d=-2.

2) Sn'=(6n-n²)'=6-2n=0

6-2n=0

2n=6  |÷2

n=3.

Answer 2

Ответ:

1. -2;

2. 3.

Объяснение:

1.Sn=6n-n^2

a1 = S1 = 6•1 - 1^2 = 5;

a1+a2 = S2 = 6•2 - 2^2 = 12 - 4 = 8;

a2 = S2 - S1 = 8 - 5 = 3.

Найдём d:

d = a2 - a3 = 3 - 5 = -2.

2. Sn=6n-n^2

Рассмотрим квадратичную функцию

у = 6х - х^2.

Графиком функции является парабола

у = - х^2 + 6х

Ветви параболы направлены вниз, своего наибольшего значения функция достигает в вершине параболы. Найдём её координаты:

х вершины = -b/(2a) = -6/(-2) = 3.

y вершины = - 3^2 +6•3 = -9+18 = 9.

Наибольшего значения 9 функция у = - х^2 + 6х достигает при х = 3.

Так как 3 - натуральное число, то и наша функция Sn=6n-n^2, определённая только для натуральных n, достигает наибольшего значения 9 при n = 3.

Необходимо взять три первых члена прогрессии, чтобы их сумма была наибольшей и равной 9.

Ответить на второй вопрос можно и по-прежнему другому:

Sn=6n-n^2

- n^2 + 6n = - (n^2 - 6n) = - (n^2 -2•n•3 + 9 - 9) = - ((n-3)^2 -9) = - (n-3)^2 + 9.

Так как слагаемое 9 постоянно, a - (n-3)^2 неположительно для любого n, то наибольшей сумма будет тогда, когда наибольшим будет первое слагаемое, т.е. когда - (n-3)^2 = 0, при n = 3.

В этом случае Sn = - (n-3)^2 + 9 = 0 + 9 = 9.