Question

||x*x-16|-7|-2а=0 (1 балл). При каком значении параметра уравнение имеет ровно три решения?

помогите пожалуйста вопрос С1 РАУ

Answer 1

исследуем функцию на четность:

$f(x) = | | {x}^{2} - 16 | - 7| - 2a \\ f( - x) = | | { (- x)}^{2} - 16 | - 7| - 2a = \\ = | | {x}^{2} - 16 | - 7| - 2a = f(x)$

f(-x) =f(x) и функция непрерывна, значит она четная

Если четная функция имеет НЕчетное количество нулей, значит один из них, обязательно х=0

подставляем х=0 в исходное уравнение и выразим а

$| | {0}^{2} - 16 | - 7| - 2a = 0 \\ |16 - 7| - 2a = 0 \\ 9 - 2a = 0 \\ 2a = 9 \\ a = \frac{9}{2} = 4.5$

при а=4,5 исходное уравнение будет иметь нечетное число корней.

проверим, будет ли при а=4,5 именно 3 различных корня

$| | {x}^{2} - 16 | - 7| - 2 \times 4.5 = 0 \\ | | {x}^{2} - 16 | - 7| - 9 = 0 \\ | | {x}^{2} - 16 | - 7| = 9 \\ \\ 1) | {x}^{2} - 16 | - 7 = - 9 \\ 2)| {x}^{2} - 16 | - 7 = 9$

решаем по очереди каждое уравнение:

$1) | {x}^{2} - 16 | - 7 = - 9 \\ | {x}^{2} - 16 | = - 2$

модуль не может равняться отрицательному числу, следовательно решений нет

$2) \: |{x}^{2} - 16 | - 7 = 9 \\ | {x}^{2} - 16 | = 16 \\ \\ 2.1) \: {x}^{2} - 16 = 16 \\ 2.2) \: {x}^{2} - 16 = - 16$

опять же решаем по очереди:

$2.1) \: {x}^{2} - 16 = 16 \\ {x}^{2} = 32 \\ x = ^{ + } _{ - } \sqrt{32} =^{ + } _{ - }4 \sqrt{2} \\ \\ 2.2) \: {x}^{2} - 16 = - 16 \\ {x}^{2} = 0 \\ x = 0$

таким образом, при a=4,5 уравнение имеет 3 различных корня: x=0; x=-4√2; x=4√2

ответ: а=4,5