Question

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD AB=7; AS=14. На сторонах CD и SC взяты точки N и K соответственно, причем DN:NC=SK:KC=2:5. Плоскость
α
α содержит прямую NK и параллельна ребру AS.

а) Докажите, что плоскость
α
α параллельна ВС
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости
α

Answer 1

Пусть A - Начало координат

Ось X - AB

Ось Y  - AD

Ось Z - перпендикулярно плоскости ABC в сторону S

Пусть O - центр квадрата ABCD

Найдем высоту пирамиды SABCD  - SO

Из прямоугольного треугольника ABC

AC = 7√2

AO= 7√2 / 2

Из прямоугольного треугольника SOA

SA = 14

AO= 7√2 / 2

SO = √ ( SA^2-AO^2)= 7√14/2

Координаты точек

N ( 2;7;0)

K ( 3.5+ 2/7 * 3.5 ; 3.5+ 2/7 * 3.5 ; 5/7 * 7√14/2)   K(4.5;4.5;2.5*√14)

Вектор

AS ( 3.5;3.5; 3.5*√14)

Мы знаем что плоскость a параллельна AS - Значит ей принадлежит точка L отложенная от K на вектор минус AS ( минус для удобства )

L(4.5- 3.5 ; 4.5 -3.5 ; 2.5*√14 - 3.5*√14)  L( 1; 1; -√14)

N K L - определяют нашу плоскость.

Уравнение плоскости

ax+by+cz+d=0

Подставляем координаты точек N K L

2a+7b+d=0

4.5 a + 4.5 b + 2.5*√14 c + d=0

a + b - √14 c +d =0

Пусть d= -2  , Тогда b=0 a =1 c = -1/√14

Искомое уравнение

x - z/√14 -2 =0

a)  Так как коэффициент при y =0 , а прямая BC параллельна оси Y , наша плоскость параллельна BC . Доказано

б )

Нормализованное уравнение плоскости

k= √(1+1/14) = √(15/14)

x/k - z/k/√14 -2/k =0

Подставляем координаты точки B ( 7;0;0) в нормализованное уравнение для определения искомого расстояния

7/√(15/14)  - 2 / √(15/14) = 5 / √(15/14) = √210 / 3