Question

помогите пожалуйста решить пределы

Answer 1

Применим второй замечательный предел:

                        $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=\lim_{x \to 0}\left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}=e$

Номер 99*************************

$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^2-1}{x^2}\right)^{2x^2}=\lim_{x \to \infty}\left(1-\frac{1}{x^2}\right)^{-2\cdot (-x^2)}=e^{-2}$

Номер 100**********************

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\left(\frac{\cos x}{\cos 3x}\right)^{\frac{1}{x^2}}=\lim_{x \to 0}\left(1+\frac{\cos x}{\cos 3x}-1\right)^\big{\frac{1}{x^2}\cdot (\frac{\cos x}{\cos 3x}-1)\cdot \frac{1}{(\frac{\cos x}{\cos 3x}-1)}}=\\ \\ \\ =e^{\lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2}\cdot\frac{\cos x-\cos 3x}{\cos 3x}}=e^{\lim_{x \to 0}\frac{2\sin x\sin 2x}{x^2}}=e^{4}$

Номер 101*************************

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\cos \frac{x}{n}\right)^n=\lim_{n \to \infty}\left(1+\cos\frac{x}{n}-1\right)^\big{n\cdot \frac{\cos \frac{x}{n}-1}{\cos \frac{x}{n}-1}}=e^{\lim_{n \to \infty}n(\cos \frac{x}{n}-1)}=1$

Номер 102*************************

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\cos \frac{a}{\sqrt{n}}\right)^n=\lim_{n \to \infty}\left(1+\cos \frac{a}{\sqrt{n}}-1\right)^\big{n\cdot \frac{\cos\frac{a}{\sqrt{n}}-1}{\cos\frac{a}{\sqrt{n}}-1}}=\\ \\ \\ =e^{\lim_{n \to \infty}n\cdot (\cos\frac{a}{\sqrt{n}}-1)}=e^{\lim_{n \to \infty}n \cdot \frac{(-\sin^2\frac{a}{\sqrt{n}})}{\cos \frac{a}{\sqrt{n}}+1}}=e^{\lim_{n \to \infty}\frac{-a^2n}{2n}}=e^{-a^2/2}$