Question

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система (фото в закрепе) имеет ровно 6 решений...пожалуйста с объяснением. ответ: -4,4

Answer 1

Рассмотрим первое уравнение:

$\displaystyle |y|=-(x^2-2x-15)\Leftrightarrow\left [ {{y=-(x^2-2x+15),y\geq0} \atop {y=x^2-2x+15,y<0}} \right.$

Данную совокупность можно представить в виде графика: начертим две параболы и оставим только их части выше (в первом случае) и ниже (во втором) оси абсцисс.

Рассмотрим второе уравнение:

$x^2+(y-a)(y+a)=2(x-\dfrac{1}{2})\\x^2+y^2-a^2-2x+1=0\\(x-1)^2+y^2=a^2$

Оно задаёт окружность радиусом |a|.

Оба графика симметричны относительно прямых y = 0 и x = 1. Если окружность касается парабол внутренним образом, система имеет 4 решения, затем, если увеличивать радиус, при пересечении она имеет 8 решений. Когда окружность проходит через общие точки частей парабол (-3; 0), (5; 0), система имеет 6 решений. Затем при пересечении — 4 решения, при внешнем касании — 2 решения.

В случае, когда реализуется 6 решений, окружность проходит через точку (5; 0). Её центр расположен в точке (1; 0). Значит, радиус равен 4:

$|a|=4\\a=\pm4$

Ответ: ±4