Question

Помогите решить пожалуйста

Answer 1

Ответ:

(1; 2) ∪ (16; +∞).

Объяснение:

Проанализируем неравенство. Числитель представляет собой некоторую константу. Попробуем прикинуть, какой знак имеет выражение в числителе.

1. Логарифм по основанию чуть меньше единицы, значит функция будет убывающей. И если идти в "обратную" сторону, то при уменьшении аргумента от 1 до 0 значение логарифма будет большим. Поскольку п/4 < 1, то значение логарифма будет сто процентно положительным.

2. Воспользуемся свойством арккосинуса: $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$. Значит $\arccos(-\frac{3}{\pi}) = \pi - \arccos(\frac{3}{\pi})$. Стоит отметить также, что значение арккосинуса варьируется от 0 до П. Это значит, что арккосинус тоже положительное значение.

3. Раз числитель положительный, а условие требует положительного значения выражения, значит знаменатель по знаку должен совпадать с числителем. Иными словами, все сводится к неравенству

$1-2\log_{\log_2{x}}2 > 0$

Нетрудно догадаться, что неравенство должно быть строгим, так как знаменатель, равному нулю, никого не порадует.

Для удобства восприятия сделаем замену

$t = \log_2x$

Тогда неравенство будет выглядеть следующим образом:

$1 - 2\log_t2 > 0$

С другой стороны, на t накладываются следующие ограничения:

$t > 0\\t \neq 1$

Теперь все сводится к решению системы неравенств:

$\left \{ {{1-2\log_t2 > 0} \atop {t > 0 \\ t\neq 1}} \right.$

Решаем первое неравенство

$1 - 2\log_t2 > 0\\2\log_t2 < 1\\\log_t2 < \frac{1}{2}$

В этом моменте кроется один ньюанс: t может принадлежать промежутку от 0 до 1, тогда в этом случае запишется неравенство как $\log_2t < 2\\t < 4$, т.е. решением является t, принадлежащей промежутку (0; 1). Но t также может быть больше 1, в этом случае неравенство запишется как $\log_2t > 2\\t > 4$

Значит, справедлива система

$\left \{ {{t>4} \atop {t>0}} \atop{t\neq 1} \right.$

Заменив везде t на $\log_2x$, и выразив x. получаем:

$\left \{ {{x>16} \atop {x>1}} \atop {x \neq 2} \right.$

Этому соответствует промежуток (1; 2) ∪ (16; +∞). то есть ответ C