Question

Решите пожалуйста

(x-1)lg2=1-lg(1+2^x)

Answer 1

Ответ:

х = 2

Объяснение:

Придадим этому уравнению немного эстетичный вид, проведя несколько преобразований

$(x-1)\lg2 = \lg 2 ^{x-1}$

$1 - \lg(1+2^x)=\lg10 - \lg(1+2^x) = \lg(\frac{10}{1+2^x})$

Получим уравнение

$\lg 2^{x-1} = \lg(\frac{10}{1+2^x})\\2^{x-1} = \frac{10}{1+2^x}\\2^{x-1}+2^{2x-1} = 10$

10, оказывается, можно разложить в сумму степеней двоек: 2 и 8, а так можно разложить только в случае x = 2. Это и будет ответом.

Нетрудно показать, что каких-то других корней не существует, так как левая часть уравнения $2^{x-1} + 2^{2x-1}$ - сумма монотонно возрастающих функций - есть функция монотонно возрастающая