Ответы
Ответ:
Объяснение:
1) 4cos^3 (x + П/2) + sin x = 0
-4sin^3 x + sin x = 0
sin x*(-4sin^2 x + 1) = 0
sin x = 0; x = П*k, k ∈ Z
sin^2 x = 1/4
sin x = -1/2; x = -П/6 + 2П*n, x = 7П/6 + 2П*n, n ∈ Z;
sin x = 1/2; x = П/6 + 2П*n, n ∈ Z; x = 5П/6, n ∈ Z;
Корни на отрезке [-7П/2; -2П]
а) -7П/2 <= -П/6 + 2П*n <= -2П
-7/2 <= -1/6 + 2*n <= -2
-7/2 + 1/6 <= 2*n <= -2 + 1/6
-20/6 <= 2*n <= -13/6
-20/12 <= n <= -13/12
На этом отрезке решений нет
б) -7П/2 <= 7П/6 + 2П*n <= -2П
-7/2 <= 7/6 + 2*n <= -2
-7/2 - 7/6 <= 2*n <= -2 - 7/6
-28/6 <= 2*n <= -19/6
-28/12 <= n <= -19/12
n = -24/12 = -2; x = 7П/6 - 4П = -17П/6
в) -7П/2 <= П/6 + 2П*n <= -2П
-7/2 <= 1/6 + 2*n <= -2
-22/6 <= 2*n <= -13/6
-22/12 <= n <= -13/12
На этом отрезке решений нет
г) -7П/2 <= 5П/6 + 2П*n <= -2П
-7/2 <= 5/6 + 2*n <= -2
-26/6 <= 2*n <= -17/6
-26/12 <= n <= -17/12
n = -2; x = 5П/6 - 4П = -19П/6
На отрезке [-7П/2; -2П] будут корни:
x1 = -2П; x2 = -3П; x3 = -17П/6; x4 = -19П/6
2) 2sin(2x+П/3) - √3*sin x = sin 2x + √3
2sin(2x)*cos(П/3) + 2sin(П/3)*cos(2x) - √3*sin x = sin(2x) + √3
2sin(2x)*1/2 + 2*√3/2*cos(2x) - √3*sin x = sin(2x) + √3
sin(2x) + √3*cos(2x) - √3*sin x = sin(2x) + √3
Сокращаем подобные
√3*cos(2x) - √3*sin x = √3
Делим все на √3.
cos(2x) - sin x - 1 = 0
Применим формулу косинуса двойного аргумента.
1 - 2sin^2 x - sin x - 1 = 0
Сокращаем подобные
- 2sin^2 x - sin x = 0
-sin x*(2sin x + 1) = 0
sin x = 0; x = Пk; k ∈ Z
sin x = -1/2; x = -П/3 + 2П*n; x = 2П/3 + 2П*n; n ∈ Z
Корни на отрезке [2П; 7П/2]
а) 2П <= -П/3 + 2П*n <= 7П/2
2 <= -1/3 + 2*n <= 7/2
2 + 1/3 <= 2n <= 7/2 + 1/3
7/3 <= 2n <= 23/6
7/6 <= n <= 23/12
На этом отрезке решений нет
б) 2П <= 2П/3 + 2П*n <= 7П/2
2 <= 2/3 + 2*n <= 7/2
2 - 2/3 <= 2*n <= 7/2 - 2/3
4/3 <= 2*n <= 17/6
2/3 <= n <= 17/12
n = 1; x = 2П/3 + 2П = 8П/3
На отрезке [2П; 7П/2] будут корни:
x1 = 2П; x2 = 3П; x3 = 8П/3
3) √2*sin(2x + П/4) + √2*cos x = sin 2x - 1; x ∈ [-5П/2; -П]
√2*sin(2x)*cos(П/4) + √2*sin(П/4)*cos(2x) + √2*cos x = sin 2x - 1
√2*√2/2*sin(2x) + √2*√2/2*cos 2x + √2*cos x = sin 2x - 1
sin(2x) + cos(2x) + √2*cos x = sin 2x - 1
Сокращаем подобные
cos(2x) + √2*cos x = - 1
Применим формулу косинуса двойного аргумента.
2cos^2(x) - 1 + √2*cos x = - 1
2cos^2(x) + √2*cos x = 0
√2*cos x*(√2*cos x + 1) = 0
cos x = 0; x = П/2 + Пk; k ∈ Z
cos x = -1/√2; x = 3П/4 + 2П*n; x = -3П/4 + 2П*n; n ∈ Z
Корни на отрезке [-5П/2; -П]
а) -5П/2 <= 3П/4 + 2П*n <= -П
-5/2 <= 3/4 + 2*n <= -1
-5/2 - 3/4 <= 2*n <= -1 - 3/4
-13/4 <= 2*n <= -7/4
-13/8 <= n <= -7/8
n = -1; x = 3П/4 - 2П
б) -5П/2 <= -3П/4 + 2П*n <= -П
-5/2 <= -3/4 + 2*n <= -1
3/4 - 5/2 <= 2*n <= 3/4 - 1
-7/4 <= 2*n <= -1/4
-7/8 <= n <= -1/8
На этом отрезке решений нет
На отрезке [-5П/2; -П] будут корни:
x1 = -5П/2; x2 = -3П/2; x3 = 3П/4 - 2П = -5П/4