Question

На экзамене по математике есть 4 темы, в которых 7,6,8, 10 вопросов соответственно. Студент знает правильные ответы на 6,4,6,7 вопросов. В процессе экзамена ему задают поточенном два случайно выбранных вопроса из разных тем. Если студент не отвечает, то считается не сдавшим. Мы знаем, что студент не сдал экзамен. Какова вероятность что его подвёл вопрос из второй темы.

Answer 1

Ответ:

≈ 0.254

Пошаговое объяснение:

Пусть имеются следующие гипотезы:

H₁ - студенту попался вопрос на билет из 1 темы

H₂ - студенту попался вопрос на билет из 2 темы

H₃ - студенту попался вопрос на билет из 3 темы

H₄ - студенту попался вопрос на билет из 4 темы

Соответственно априорные вероятности тогда равны P(H₁)=P(H₂)=P(H₃)=P(H₄) = $\frac{1}{4}$

Пусть событие A связано с тем, что студент не ответил на вопрос. Тогда условные вероятности равны:

$P(A | H_1) = \frac{1}{4}*\frac{1}{7}\\P(A | H_2) = \frac{1}{4} * \frac{2}{6}\\P(A | H_3) = \frac{1}{4} * \frac{2}{8}\\P(A | H_4) = \frac{1}{4} * \frac{3}{10}$

А полная вероятность (т.е. вероятность того, что студент не сдал экзамен) равна сумме $P(A | H_i)$ по всем i.

$P(A) = \frac{1}{4}(\frac{1}{7} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{3}{10}) = \frac{551}{1680}$

Находим теперь апостериорную вероятность, согласно формуле Байеса:

$P(H_2 | A) = \frac{P(H_2) * P(A | H_2)}{P(A)}$

Таким образом,

$P(H_2 | A) = \frac{\frac{1}{4}*\frac{1}{3}}{\frac{551}{1680}} = \frac{1680}{551*12} = \frac{1680}{6612} \approx 0.254$